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数学建模(2/5)

口，为简化问题，相邻两个交叉路口之间的道路近似认为是直线，且所有事发现场均在下列图的道路上。

该市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。

设110警车的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。

警车配置及巡逻方案要尽量满足以下要求： D1.警车在接警后叁分钟内赶到现场的比例不低于90％；而赶到重点部位的时间必须在两分钟之内。

D2.使巡逻效果更显着； D3.警车巡逻规律应有一定的隐蔽性。

现在我们需要解决以下几个问题： 一.假设要求满足D1,该区最少需要配置多少辆警车巡逻？ 二.请给出评价巡逻效果显着程度的有关指标。

叁．请给出满足D1且尽量满足D2条件的警车巡逻方案及其评价指标值。

四.在第叁问的根底上，再考虑D3条件，给出你们的警车巡逻方案及其评价指标值。

五．如果该区域仅配置10辆警车，应如何制定巡逻方案，使D1、D2尽量得到满足？ 六.假设警车接警后的平均行驶速度提高到50km/h，答复下列问题叁。

七.你们认为还有哪些因素、哪些情况需要考虑？给出你们相应的解决方案。

二问题分析 此题为城区道路网络中警车配置及巡逻问题。

在进行警车配置时，首先要考虑警车在接警后在规定时间内赶到现场的比例，在此条件下，以车数最少为目标，建模、求解；在制定巡逻方案时，要考虑巡逻的效果及隐蔽性问题。

问题一只要求满足D1，求最少的警车配置数，可以认为警车是不动的，在叁分钟或两分钟内它能到达的区域就是它的覆盖范围。

据此，在满足所有街道的覆盖率不低于90%的条件下，寻找最优解。

问题二要评价巡逻效果，有两个方面需要考虑：一是巡逻的全面性，即经过一段时间后警车走过的街道数占总街道数的比例；二是巡逻的不均匀性，即经过一段时间后警车经过每一条街道的次数相差不大，用方差来衡量。

问题叁是在满足D1的条件上尽量满足问题二所给的指标，并给出评价方案的指标。

首先找到一组满足D1的各警车位置，然后在和各警车位置相连的点中随机寻找一个点，判断新的点是否满足D1，如果满足那么警车行驶到该点，否那么重新寻找，直到满足为止。

一段时间后统计所有车走过的点数及每个点被走过的次数，用问题二给出的两个指标进行评价。

综合两个指标，可判断此路径的好坏，重复这个过程，直到综合评价指标到达一个满意的值为止。

问题四增加了隐蔽性要求，首先给出评价隐蔽性的指标，隐蔽性可用路线的随机性来评价，将它参加到问题叁的模型中去进行求解。

问题五限制警车数量为10，要综合考虑D1、D2，先分配这10辆车使道路的覆盖率最高，然后按照问题叁的步骤进行求解，其中每一步对D1的判断只需使道路的覆盖率尽量高即可。

问题六同问题叁，只需将车速改为50km/h即可。

叁模型的假设 警车都在路上巡逻，巡警去处理案件的时间不考虑； 所有事发现场都在道路上，案件在道路上任一点是等概率发生的； 警车初始停靠点是随机的，但尽量让它们分散分布，一辆警车管辖一个分区； 假定各个划分区域内，较短时间内，最多会发生一个案件； 假设区域内的每条道路都是双行线，不考虑转弯对结果造成的影响； 如果重点部位不在道路上的，假设这些重点部位在离它们最近的道路上； 7.图中水域对巡逻方案没有影响。

四符号说明 m表示警车数目 d表示警车初始停靠点到各道路的最短距离 L表示整个区域的总道路长度 l表示不能在3分钟内到达的区域的道路的长度 k表示非重点部位的警车在3分钟内不能到达现场的比例 s表示叁分钟内能从接警位置赶到事发现场的最大距离是 n表示整个区域总的离散点个数 ni表示第i区内的节点个数 f1表示区内调整函数 t表示模拟退火的时间，表征温度值 f2表示区间调整函数 r表示全面性指标 e表示不均匀性指标 h表示综合评价指标 si表示第i辆车经过每条道路的次数 -s表示整个区域每条道路经过的平均次数 五模型的建立与算法的设计 5.1满足D1时，该区所需要配置的最少警车数目和巡逻方案 5.1.1满足D1条件时，区域最少警车的规律 题目要求警车的配置和巡逻方案满足D1要求时，整个区域所需要配置的警车数目最少。

由假设可知警车都在道路上，且所有事发现场也都在道路上，但区域内总的道路长度是个定值的；警车在接警后赶到事发现场有时间限制和概率限制：叁分钟内赶到普通区域案发现场的比例不低于90％，而赶到重点部位的时间必须控制在两分钟之内。

由此可知每辆警车的管辖范围不会很大，于是考虑将整个区域分成假设干个分区，每辆警车管辖一个分区域。

由上面的分析，求解整个区域的警车数目最少这个问题可转化为求解每一辆警车所能管辖的街道范围尽量的大。

于是我们寻找出使每辆警车管辖的范围尽量大的规律。

为了简化问题，我们不考虑赶到现场的90%的几率的限制，仅对警车能在叁分钟内赶到事发现场的情况作定性分析，其分析示意图如图1所示。

警车的初始停靠位置是随机的分布在道路上的任一节点上，我们假

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