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第二十四章 首日竞赛(2/4)

M分别是BP、CQ、PQ的中点，圆Г过K、L、M并且与PQ相切。

证明：OP=OQ。

” 秦元清这一题审题完成，倒是觉得这一题比上一题容易一些，没有设陷阱。

先是做了一个圆，然后化作△ABC，然后又作出CA、AB线段以及P、Q二点，然后标出BP、CQ、PQ的中点K、L、M。

最后作出圆Г。

随后以直线PQ与圆Г相切，相切点M，然后通过弦切角定理得出∠QMK=∠MLK。

由于点K、M分别是BP、PQ的中点，所以KM∥BQ，从而得出∠QMK=∠AQP。

因此得到∠MLK=∠AQP。

同理，∠MKL=∠APQ。

根据角的相等，得到△MKL∽△APO，从而得到MK/ML=AP/AQ 因为K、L、M分别是线段BP、CQ、PQ的中点，所以得到KM=BQ/2，LM=CP/2，将此带入上式得BQ/CP=AP/AQ，将式子转为AP·CP=AQ·BQ。

通过圆幂定理知OP2=OA2-AP·CP=OA2-AQ·BQ=OQ2 所以，得出结论OP=OQ。

秦元清连检查都没有检查，将抽向的数学问题转为图像，这个是他擅长的地方，他有十全的把握证明。

紧接着秦元清看向第三题，“3、S1，S2，S3……是严格递增的正整数数列，并且它的子数列SS1、SS2、SS3……和SS1+1，SS2+1，SS3+1……都是等差数列。

证明：S1，S2，S3……是一个等差数列。

” 看着这一题，秦元清微皱起眉头，这一题明显比前面两道题难得多，秦元清将已知条件稍微捋了一下，这一道题融合了等差数列、以及转换法。

秦元清一步一步地展开，通过数列以及子数列都是严格的递增的正整数数列，设Ssk=a+（k-1）d1，SSk+1=b+（k-1）d2（k=1，2……a、b、d1、d2∈N+）。

将问题转为函数、数列后，以Sk<Sk+1<Sk+1及{Sn}的单调性，知对任意的正整数k，有SSk<Ssk+1≤SSk+1。

即a+（k-1）d1<b+（k-1）d2≤a+kd1 因此a-b≤（k-1）（d2-d1）≤a+d1-b。

由k的任意性知d2-

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